Ableitungsdurcheinander

Im Moment kämpfe ich mit den Mathematik-Aufgaben meiner Tochter und fühle mich in die Oberstufe zurückversetzt. Das Thema sind Ableitungen. Mithilfe von Ableitungen kann man sich eine Vorstellung vom Verlauf einer Kurve machen, ohne diese jetzt Punkt für Punkt auszurechnen.

Eine kurze Auffrischung:
Die Gleichung

hat folgende (erste) Ableitung:

und folgende Zweite Ableitung:


Zur Erinnerung:
Eine Ableitung erhält man, indem man die einzelnen Summanden mit dem Exponenten multipliziert und diesen um eins vermindert.

Der Graph einer Funktion enthält besondere Punkte:
- lokale Extremstellen (Minimum oder Maximum), für die gilt: f’(x) = 0 und
- Wendepunkte (da geht eine Rechts- in eine Linkskrümmung über oder umgekehrt), für die gilt f’’(x)= 0

Diese erst einmal kompliziert erscheinenden Sachverhalte an einer – zuerst einmal kompliziert erscheinenden –  Kurve (dem Mathematik-Duden, S. 145 nachgezeichnet) verdeutlicht:

 

Erklärung: 

Von den drei Kurven, die oben zu sehen sind, ist die oberste der Graph der ursprünglichen Formel, die zweite der Graph der Ableitung und die dritte der Graph der Zweiten Ableitung.
Dort, wo die Steigung des Graphen von f(x) gleich null ist, durchläuft der zweite Graph (der der Ableitungskurve) die x-Achse. Wie man so schön sagt: dieser Punkt ist »verdächtig auf ein lokales Extrem«. In diesem Beispiel sind es tatsächlich lokale Extreme.
Dort, wo sich ein Wendepunkt befindet (Übergang einer Rechts-[in der Darstellung rot] in eine Links- [in der Darstellung grün] Krümmung), dort durchläuft der Graph der Zweiten Ableitung die x-Achse, ist also null. In einer Rechts-Krümmung (rot) wird die Steigung immer weniger (deshalb in der zweiten Ableitung < 0), in einer Linkskrümmung (grün) wird die Steigung immer größer (deshalb in der zweiten Ableitung > 0). Dort, wo die Steigungsänderung, also f’’(x) = 0, ändert sich die Krümmung.

Jetzt gibt es auch Fälle, in denen gilt an bestimmten Punkten sowohl f’(x)=0 also auch f’’(x)=0. Das gilt zum Beispiel für Graphen von einfachen Formeln einer ungeraden Potenz, also f(x) = x hoch 3, 5, 7 und so weiter:

Bei diesem Graphen (es ist nur die Zweite Ableitung dargestellt, die Erste hätte die Form einer Parabel) ist die Steigung am Wendepunkt (f’’(x) = 0) ebenfalls null, also f’(x) = 0.

Das Aufgabenheft des Lambacher-Schweizer von Klett sagt jetzt, an diesen Punkten, für die gilt
f’(x) = 0 und f’’(x) = 0,
für diese Punkte müsse man feststellen, ob hier ein lokales Extrem vorliegt oder nicht.

Ich behaupte, das ist Quatsch, weil eine solche Stelle nie ein lokales Extrem sein kann.

Wer kann mir also eine Formel nennen, für die diese beiden Bedingungen gelten:
f’(x) = 0 und f’’(x) = 0,
und mir aufzeigen, daß an dieser Stelle ein lokales Extrem ist?

Ich bin sehr gespannt…